Google Analytics Alternative

فلسفهٔ ریاضی — حق با ارسطو بود

ریاضیات در مورد چه چیزی حرف می‌زند؟ ما می‌دانیم که زیست‌شناسی در مورد موجودات زنده، یا دقیق‌تر بگوییم، بخش‌های زندهٔ موجودات زنده بحث می‌کند، حرکت گربه‌ای که از پنجره می‌پرد موضوع علم فیزیک است، اما فیزیولوژی گربه مربوط به زیست‌شناسی است. اقیانوس‌شناسی در مورد اقیانوس‌ها بحث می‌کند و جامعه‌شناسی در مورد رفتار انسان‌ها به صورت جمعی و از این گونه موارد… وقتی تمام علوم و موضوعاتشان را مشخص کردیم، آیا جنبه‌ای از واقعیت، برای اینکه موضوع ریاضیات باشد، باقی می‌ماند؟ این سوالی اساسی در فلسفهٔ ریاضی است.

مردم اغلب توجهی به فلسفهٔ ریاضیات ندارند، شاید به خاطر عینیت و یقینی است که در ریاضیات موجود است. اینکه ریاضیات یک بار و برای همیشه بر بنیادی از حقایقی محکم و یقینی بنا شده به عنوان یک چالش برای بسیاری از مواضع فلسفی محسوب می‌شود. نه تنها فقط برای نگرش‌های شکاکانهٔ افراطی مانند پست‌مدرنیسم، که با این موضوع مشکل دارند، بلکه تمام نگرش‌های طبیعت‌گرایانه و تجربه‌گرایانه که خواهان یک تبیین «علمی» از واقعیت و آگاهی ما نسبت به آن هستند. مساله این نیست که چقدر از ریاضیات واقعیت دارد بلکه بیشتر این است که چرا حقایق ریاضی به طور مطلق «ضروری» هستند، چگونه ذهن ما آن ها را می‌فهمد و چرا باید اینگونه باشد؟ تببین این امر که چطور مغز فیزیکی ما این‌ها را می‌فهمد کاری بسیار دشوار است.

یکی از فلاسفه‌ای که ضرورت ریاضی را به نوعی ناسازگار می‌داند آقای پیتر سینگر1 است، در یکی از کتاب‌های پرفروش خود در مورد اخلاق می‌گوید که ما نمی‌توانیم به شهودهای اخلاقیمان اعتماد کنیم. چون که بسیاری از موارد شهود، در ریاضیات درست نیستند. «بداهت حقایق اساسی در ریاضیات… را می‌توان به وسیلهٔ دیدن ریاضیات به عنوان یک نظام همانگو توضیح داد… و این‌ها به خاطر معانی پیش‌فرض گرفته شده صحیح هستند. » اشتباه سینگر اینجاست که می‌گوید فلسفهٔ ریاضی منطق‌گرایی2، «اگر نگوییم توسط همه، بلکه توسط عدهٔ زیادی پذیرفته شده است»، زیرا که این دیدگاه توسط فلاسفهٔ بسیار مهمی در صد سال اخیر پذیرفته نشده است. اما واضح است که افرادی مانند سینگر می‌خواهند بگویند که برای تببین قوهٔ عجیب و غریب شهود [شهود اخلاقی] نیاز به صحیح بودن شهود در سیستم ریاضیات است.

آیا ریاضیات در مورد چیزی صحبت می‌کند ؟ دو پاسخ وجود دارد، «بله» و «خیر»، که هیچکدام به طور عمیق خرسند کننده نیستند. در جواب «خیر»، که بیشتر مدافعان آن اهالی اصالت تسمیه3 هستند می‌گویند که ریاضیات فقط یک زبان است. در این دیدگاه ریاضیات فقط ابزاری است برای حرف زدن در مورد دیگر اشیاء یا مجموع حقایق پیش پا افتاده و همانگوی منطقی (همانطور که سینگر ادعا می‌کند)، یا به عبارتی دستکاری کردن نمادها، علائم و نشانه بر اساس یک سری قوانین. این‌ها واقعاً در مورد چیزی نیستند و حقایقی پشت آن‌ها وجود ندارند، کسانی که با مثال‌های ریاضی چون (حاصل‌ضرب منفی در منفی می‌شود مثبت/اینکه چرا چنین می‌شود محل بحث ما در اینجا نیست) در مدرسه برخورد کرده‌اند ممکن است با تصویر نومینالیستی بیشتر همدل باشند، همچنین مهندسان و فیزیکدان‌ها نیز تقریباً چنین دیدگاهی دارند، آن‌ها حقایقی را در مورد جهان واقعی تا آنجا که مربوط به کارشان می‌شود از این روابط استخراج می‌کنند. آن‌ها به جدول تبدیلات لاپلاس یا هر ابزار اینچنینی برای راه انداختن کارها رجوع می‌کنند، همانطور که فیلسوف آلمانی کارل همپل می‌گوید، آن را به عنوان «آبمیوه‌گیر نظری» نگاه می‌کنند: ابزاری برای استخراج حقایق اساسی در مورد جهان واقعی [فیزیکی]، اما نه به خودی خود معنادار [خودشان در ذات خود حقیقتی در بر ندارند].

نومینالیسم یک دید زمینی و این جهانی به قضیه دارد ولی با تأمل بیشتر می‌توان دریافت که این دیدگاه نمی‌تواند درست باشد. هر چند دستکاری و بازی با نمادها به عنوان تکنیک کارایی دارد و مناسب است، اما از طرفی می‌بینیم که کشفیاتی در ریاضیات رخ می‌دهد که به یک معنا مربوط به عالمی خارجی است. برای مثال ظرافتی که در توزیع اعداد اول می‌بینیم اینگونه هستند، بعضی از اعداد اول هستند و برخی نیستند. یک بستهٔ دوازده‌تایی تخم‌مرغ می‌تواند در جعبه‌ای با ۳ ردیف و ۴ ستون یا ۲ ردیف و ۶ ستون جای گیرد، اما تخم‌مرغ‌های ۱۱ یا ۱۳ تایی فروخته نمی‌شود، چون نمی‌توان آن‌ها را به صورت مرتب در یک جعبهٔ تخم‌مرغ قرار داد. چون ۱۱ و ۱۳ برخلاف ۱۲ یک عدد اول است و اعداد اول نمی‌تواند به صورت حاصل‌ضرب دو عدد کوچک‌تر در بیاید. فهم این ایده بسیار ساده است اما این بدان معنی نیست که چیزی در مورد آن برای کشف وجود ندارد.

توزیع اعداد اول از الگوهای پیچیده‌ای تبعیّت می‌کند و از بی‌نظمی‌های خاصی برخوردار است. در مقیاس کوچک‌تر دومی [بی‌نظمی] ملموس‌تر است: فواصل طولانی بدون هیچ عدد اولی وجود دارند، در فاصله‌های بسیار بزرگ. در همین زمان اکثراً بر این باور بودند که بی‌نهایت اعداد اول دوقلو وجود دارند، اعداد اول دوقلو که کنار هم می‌آیند، مثل ۴۳ و ۴۱.

وقتی به مقیاس بزرگ‌تر برمی‌گردیم بی‌نظمی‌هایی که در توزیع دیده می‌شد محو می‌شود و یک الگوی مرتب نمایان می‌شود. تراکم این اعداد وقتی که به جلو پیش می‌رویم به صورت تدریجی کم می‌شود. تراکم اعداد اول در یک تریلیون ۱۰۱۲ تقریباً نصف توان آن است، یعنی حدود یک میلیون ۱۰۶ ، اطلاعات دقیق‌تر در مورد اعداد اول را می‌توان در فرضیهٔ ریمان4 جستجو کرد که اکنون یکی از مشهورترین حدس‌های اثبات‌نشده در ریاضیات محسوب می‌شود.

این‌ها همه تنها حاصل کاوش در ریاضیات محض است. از حقایق ساده‌ای که در مدرسه می‌خواندیم (برای مثال: یک عدد وقتی به ۹ تقسیم‌پذیر است، جمع رقم‌های آن هم بر ۹ تقسیم‌پذیر است) گرفته تا مسائل پیچیده‌تر مربوط به جبر مجرد5.

نتایج غیر قابل‌اجتنابی که ریاضیات محض آن را به ما نشان می‌دهد گویای عالم دیگریست که انگار در آن حقایقی وجود دارند که پیش از تحقیقات انسانی و حتّیٰ زبان انسانی نیز موجود بوده‌اند.

ملهم از همین نتیجهٔ بالا دیدگاه افلاطون‌گرایی6 وجود دارد که در مقابل نومینالیسم قرار می‌گیرد. این دیدگاه می‌گوید که حقایق ریاضی مربوط به یک عالم غیرفیزیکی است، مانند مجموعه‌ها، اعداد و انواع داده‌های انتزاعی ریاضی. این‌ها همه در یک عالم عجیب و ورای زمان و مکان موجودند. این دیدگاه اگر متقاعدکننده به نظر نمی‌رسد توجه کنید که دقیقاً همین اشیاء خاص هستند که موضوع علم ریاضیات محض قرار می‌گیرند. افلاطون‌گرایی همچنین با پیشرفت‌های آشکار و بزرگ در اثبات‌های ریاضی نیز سازگار است که به گونه‌ای به ما نشان می‌دهند که اشیاء در جهان‌های ممکن چطور خواهند بود، صرف نظر از قوانین طبیعت مربوط به یک جهان ممکن خاص.

اثبات اینکه جذر عدد ۲ یک عدد اعشاری است، وابسته به مشاهدات تجربی قوانین طبیعت نیست و همین گویای این امر است که جذر عدد ۲، دارای یک موجودیت است که ورای جهان ناپایدار، مکانمند و زمانمند ما قرار دارد.

اما با وجود تبیین روشن و همچنین تاریخچهٔ دورودراز، این دیدگاه نمی‌تواند کاملاً درست باشد. از همان زمان افلاطون تا کنون نومینالیست‌ها اعتراض‌های شدیدی علیه این نظریه داشته‌اند. یکی از آن‌ها این است : اگر این موجودات انتزاعی در جهانی خارج از جهان ما و مکان و زمان قرار دارند، چطور ما آن‌ها را می‌فهمیم یا هر شکل دیگری از تماس ادراکی با آن‌ها داریم؟ یا اصلاً چطور می‌فهمیم که وجود دارند؟ برخی از افلاطون‌گراهای معاصر پاسخ داده‌اند که ما آن‌ها را استنباط7 می‌کنیم. همانطور که وجود اتم‌ها را برای تببین آزمایش‌های شیمیایی استنباط می‌کنیم. اما این ادعا به نظر نمی‌رسد برای اعداد هم صادق باشد. یک کودک پنج ساله می‌تواند به راحتی بدون هیچگونه استدلال و استنباط‌های پیچیده در مورد اشیاء انتزاعی شروع به شمردن کند. در واقع آن‌ها با جنبهٔ عددی واقعیت تماس برقرار می‌کنند ، تماسی که بیشتر ادراکی و مستقیم است. حتّیٰ برخی از حیوانات این توانایی را دارند و می‌توانند بشمارند.

اما در هر حال مشکل اصلی که متوجه افلاطون‌گرایی است این نیست که معرفت ما چطور به موجودات ریاضی شکل می‌گیرد. مطمئناً وقتی ما کار محاسبه و اندازه‌گیری و یا دست به مدل‌سازی شرایط آبوهوایی می‌زنیم در واقع ما با مشخصه‌های واقعی جهان سروکار داریم. این مشخصه‌ها اعیانی انتزاعی نیستند، مانند رنگ‌ها که دارای قدرت علّی هستند که در دید ما اثر می‌گذارند و ما آن را می‌بینیم. یک نظام بصری به سادگی می‌تواند این مشخصه‌ها را تشخیص دهد، مثلاً نسبت قد من به قد شما را (اگر پشت سر هم بایستیم)، در اینجا هیچ نوع موجود انتزاعی وجود ندراد، حتّیٰ اگر وجود هم داشته باشد در این مورد جایی ندارد.

نومینالیست‌ها و افلاطون‌گراها از قدیم الایام تاکنون با هم در جنگ بوده‌اند و هر کدام نقدهای کشنده‌ای را علیه طرف مقابل اقامه کرده‌اند که در واقع هیچ‌کدام نتواستند خود را پیروز قضیه اعلام کنند.

زمین را تصور کنید، قبل از این که انسانی برای فکر کردن به ریاضیات و نوشتن فرمول‌ها و روابط آن وجود داشته باشد. آن موقع دایناسورهای کوچک و بزرگ، درخت‌ها، آتشفشان و رودهای جاری وجود داشته‌اند. آیا این مشخصه‌های طبیعی که به صورت ریاضی بیان می‌کنیم، آن زمان هم موجود بوده‌اند؟ یا به عبارتی دیگر، در بین مشخصه‌های اشیاء واقعی موجود (نه در دنیای انتزاعی) آن موقع، آیا مشخصه‌هایی هم وجود داشته‌اند که به عبارتی ریاضی‌گونه باشند؟

پاسخ بله است، مشخصه‌های زیاد اینچنینی وجود داشته‌اند، برای مثال یکی از این ویژگی‌ها تقارن8 است، دایناسورها، مانند خیلی از حیوانات دیگر، دارای شکلی متقارن بوده‌اند، درخت‌ها و آتش‌فشان‌ها شکلی دایره‌وار و تقریباً متقارن داشته‌اند. وقتی از بالا به آن نگاه می‌کنیم، انگار که یک محور دَوَران داشته‌اند. این قضیه در مورد تخم‌مرغ هم صادق است. اما تقارن چه دقیق یا تقریبی مشخصه‌ای است که نمی‌توان آن را به طور دقیق فیزیکی تلقی کرد. چیزهای غیرفیزیکی هم می‌توانند تقارن داشته باشند، برای مثال یک استدلال می‌تواند متقارن باشد اگر نصف استدلال برعکس نصف دوم چیده شود. تقارن، بی‌مناقشه یک خاصیت ریاضی است که مربوط به یکی از شاخه‌های ریاضی محض، یعنی نظریهٔ گروه‌ها9 است. وقتی تقارن در یک شیء فیزیکی وجود داشته باشد به راحتی برای نظام ادراکی ما آشکار می‌گردد. مثلاً اگر شما یک قیافهٔ غیر متقارن دارید، وارد سیاست نشوید! چون در تلویزیون و رسانه‌ها ممکن است اثر خوبی نداشته باشد! تقارن مانند دیگر خواص ریاضی می‌تواند نیروی علّی و تاثیرگذاری روی طبیعت داشته باشد. برخلاف موجودات انتزاعی افلاطون.

یکی دیگر این مشخصه‌های ریاضی که مانند تقارن در خیلی از اشیاء فیزیکی وجود دارد، نسبت10 است. ارتفاع یک دایناسور بزرگ و کوچک دارای نسبتی مشخص است، نسبت حجم آن‌ها متفاوت است، در واقع نسبت حجم دارای مقداری بسیار بزرگ‌تر از نسبت ارتفاع است، و همین ویژگی است که دایناسورهای بزرگ را زمخت و وحشتناک و دایناسورهای کوچک‌تر را ظریف‌تر می‌سازد. یک نسبت می‌تواند گویای رابطه بین دو ارتفاع، دو حجم و یا دو فاصله باشد، در واقع این یک رابطه است که اشیاء فیزیکی مختلف به طور مشترک با هم برقرار می‌کنند و بنابراین بیشتر یک مشخصهٔ ریاضی محسوب می‌شود تا فیزیکی. اگر بخواهیم دقیق‌تر تعریف کنیم، نسبت رابطه‌ایست که طول یک چیز را در رابطه با یک واحد اختیاری انتخاب شده نشان می‌دهد.

هرگونه انحراف و تمایل به سمت ریاضیات کاربردی به نحوی برای دیدگاهای قبلی خطر محسوب می‌شود، البته فیلسوفان ریاضی‌ای که بیشتر کار روی زمینه‌های منطق و اعداد را ترجیح می‌دهند به ندرت به این سمت تمایل پیدا می‌کنند. بسیاری از مشخصه‌های کیفی و ساختاری وجود دارند که خود فیزیکی نیستند اما می‌توان به وسیلهٔ جهان فیزیکی آن‌ها را فهمید، برای مثال مفاهیمی مانند جریان‌ها، رابطه‌های ترتیبی، پیوستگی و گسستگی، خطی بودن، توپولوژی‌ها و بسیاری دیگر.

دیدگاه دیگری نیز در فلسفه ریاضی وجود دارد که تاکید بیشتری بر روی ارتباط مشخصه‌های ریاضی و جهان واقعی دارد. این دیدگاه رئالیسم ارسطویی11 نام دارد. ارسطو بر خلاف استادش، افلاطون، معتقد بود که چنین مشخصه‌هایی در خود اشیا فیزیکی موجودند، نه در جهانِ انتزاعی دیگر. این دیدگاه ریاضیات را به عنوان «علم کمیت» می‌شناسد. که تا زمان نیوتون دیدگاه غالب بود اما بعد از آن کم‌کم از کانون توجه خارج شد.

چون رئالیست ارسطوئی بر قابل فهم بودن حقایق ریاضی از طریق مشخصه‌های فیزیکی تأکید دارد، می‌تواند یک توجیه سرراست برای معرفت ما به حقایق ریاضی از طریق ادراکات حسی ارائه دهد، درست همانند دیگر حقایق. برای مثال نسبت طول اجسام را می‌توانیم ببینیم. بچه‌های کوچک و همچنین حیوانات می‌توانند الگوها را تشخیص دهند و تقارن را تخمین بزنند (هرچند با درجه‌ای از تقریب).

قوهٔ ذهنی ما انسان‌ها دارای دو ویژگی عمده است که عملیات ادراک را انجام می‌دهد. اولی قدرت تجسم12 است که به ما اجازه می‌دهد تا روابط ضروری بین حقایق ریاضی را متوجه شویم. برای مثال این تمرین سادهٔ ذهنی را انجام دهید: شش خط را تصور کنید که به صورت دو ردیف سه تایی قرار گرفته شده است، هر سطر دقیقا بالای دیگری، من هم دقیقاً همین شش خط را می‌توانم طور دیگری تجسم کنم، سه ستون که هر کدام به صورت دو خط پشت هم قرار دارند. پس بنابر این می‌توانیم بگوییم ۲×۳=۳×۲، در اینجا اینگونه نیست که من فقط متوجه این حقیقت باشم که ۲×۳ برابر است با ۳×۲، بلکه به این امر نیز واقفم که چرا «باید» این تساوی برقرار باشد. پس توجه افلاطون‌گراها به چگونگی فهم ما از ضرورت‌های ریاضی بجا بوده است اما آن‌ها متوجه این امر نمی‌شدند که اغلب این حقایق را می‌توان در همین جهان واقعی درک کرد. ویژگی دوم قدرت «اثبات» 13 است، کار اثبات ریاضی در کنار هم گذاشتن مجموعه حقایقی می‌باشد که توسط قوه اول (تجسم) دریافت می‌کنیم، مانند همان ۲×۳=۳×۲، تا ضرورت حقایقی که در نگاه اول قابل فهم نیستند را بر ما آشکار سازد. مانند تراکم اعداد اول در میان دیگر اعداد [که همینطور در نگاه اول مشهود نیستند، اینجا اثبات وارد می‌شود].

البته رئالیسم ارسطویی رابطهٔ خوبی با طبیعت‌گرایی14 ندارد، پروژه‌ای که مدعی است که تمام جهان و معرفت انسانی را می‌توان به وسیلهٔ فیزیک، زیست‌شناسی و عصب‌شناسی تبیین کرد. اگر مشخصه‌های ریاضی در همین دنیای فیزیکی فهمیده می‌شوند و قابل ادراک هستند پس می‌توان گفت که دیگر تببین ریاضیات چیزی بیشتر از تببین ادراک ما از رنگ‌ها نیست. از طرفی، ارسطوگراها با افلاطون‌گراها موافق‌اند که چگونگی فهم ما از ضروریات ریاضی امری عجیب و رازآلود است. هرآنچه که ضروری است در تمام جهان‌های ممکن بدون هیچ گریزی صادق است. اما چطور می‌توانیم جهان‌های ممکن را ببینیم؟ مدرسی‌ها، ارسطوئیان کاتولیک قرون وسطیٰ سخت تحت تأثیر این قضیه بودند و مایل بودند که غیر مادی بودن و ابدی بودن ذهن را بر اساس همین امر نتیجه بگیرند. اگر ناتورالیست‌ها علاقه‌ای به قبول این امر ندارند و فکر می‌کنند فهم ما از ریاضیات به سادگی دیگر ادراک‌های حسی است، یک چالش برای آن‌ها وجود دارد، «چیزی نگو، بلکه نشانم بده،»15 یک سیستم هوش مصنوعی طراحی کنید تا بتواند بینش‌های واقعی ریاضی را تقلید کند، اما به نظر می‌آید طرح امیدوار کننده‌ای وجود نداشته باشد.

مکتب‌های متداول فلسفهٔ ریاضی از ارائه یک نظریهٔ معتبر در این زمینه عاجز مانده‌اند، در مورد این واقعیت ساده که چطور ریاضیات حقایقی در مورد جهان برای ما فاش می‌کند —نومینالیسم با تقلیل ریاضیات به نمادهای ساده و ناچیز و افلاطون‌گرایی با افتراق و تلاقی که بین این دو جهان به وجود می‌آورد، هر دو از ارائه یک طرح کامل عاجز مانده‌اند.

اما رئالیسم ارسطویی یک شروع جدید است، این نظریه فلسفهٔ ریاضی را به کاربرد ریاضیات متصل می‌سازد، زمینهٔ کابردی که همیشه بستری حاصل‌خیز برای رشد و کشفیات ریاضی محسوب می‌شده است.

این نگرش دو پیام ارزشمند برای ما در بر دارد، هم در زمینهٔ فلسفه و هم ریاضی: اول اینکه هیچوقت به وسیلهٔ نمادها و علائم کور نشویم [طوری که فرض کنیم هیچ چیز غیر از نمادها وجود ندارد] و نه هم در جهان انتزاعی آنچنان غرق که گم شویم، فقط چشمانمان را باز کنیم و با دقت به مشاهدهٔ ساختار ریاضی جهان واقعیمان بپردازیم.


منبع: جیمز فرانکلین در آیون.

ترجمه: جاوید جعفری


 

1 Peter Singer

2 Logicism

لُژیسیسم: دیدگاهی که توسط راسل و وایتهد مطرح شد، مبنی بر اینکه تمام ریاضیات قابل تقلیل به منطق است. (مترجم)

3 nominalists

4 Riemann Hypothesis

5 abstract algebra

6 Platonism

7 infer

8 symmetry

9 group theory

10 ratio

11 Aristotelian realism

12 visualisation

13 proof

14 naturalism

15 Don’t tell me, show me

نظر بدهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *